مسألة اليمين واليسار في R متى نتكلم عن اليمين وعن اليسار في النهايات والإستمرار والإشتقاق رياضيات
مرحباً بكم متابعينا الأعزاء طلاب وطالبات العلم في موقع باك نت.baknit الموقع التعليمي المتميز والمتفوق بمنهجية الإجابة الصحيحة والنموذجية من مرحلة التعليم الابتدائي والمتوسط والثانوي bac 2023 كما يسرنا بزيارتكم أن نقدم أهم المعلومات والحلول وأفضل الأسئله بإجابتها الصحيحه من شتى المجالات التعلمية من مقرر المناهج التعليمية 2022 2023 وكما عودناكم أعزائي الزوار في صفحة موقع باك نت أن نطرح لكم ما تبحثون عنه وهو .......مسألة اليمين واليسار في R متى نتكلم عن اليمين وعن اليسار في النهايات والإستمرار والإشتقاق رياضيات
وتكون الإجابة على سؤالكم هي على النحو التالي
لنضبط الرياضيات معا : مسألة اليمين واليسار في R
البعض يسأل متى نتكلم عن اليمين وعن اليسار في النهايات والإستمرار والإشتقاق ؟
الجواب : المسألة أبسط من هذا بكثير ولفهمها نعود لتعريف الدالة فالدالة في الأصل علاقة من مجموعة نحو مجموعة فهي مجموعة جزئية من الجداء الديكارتي.
دراسة خصائص دالة من حيث السلوك تقتضي دراسة هذا الجزء من الجداء الديكارتي من حيث التركيب ففي هذه الدراسة لا يهمنا ما يحدث خارج هذه المجموعة.
بتعبير آخر عندما ندرس دالة في R لا ننظر للمجموعة C بل لا يوجد معنى لذلك مثال ذلك الدالة المعرفة بالصيغة
f(x) = x
على R فهي ليست نفس الدالة المعرفة بنفس الصيغة على C.
فالأولى مجموعة جزئية من الجداء الديكارتي R×R والثانية مجموعة جزئية من C×C.
فالقاعدة سهلة جدا :
الدالة تدرس على مجموعة تعريفها ولا يهمك ما يحدث خارجها.
فإذا علمت ذلك فيمكن التطبيق بسهولة مثال ذلك :
الدالة الجدر التربيعي معرفة على R+ لذلك تدرسها على مجموعة تعريفها فيمكنك دراسة الإستمرار عن يمين الصفر لأنه من مجموعة تعريفها لكن لا يهمنا ما يحدث عن يسار الصفر لأنه خارج مجموعة تعريفها.
لذلك نقول الدالة الجذر التربيعي مستمرة على R+ ولا نقول هي غير مستمرة عند الصفر لأنها غير معرفة يسارا فهذا لا معنى له فلا أحد طلب منك النظر خارج R+ ولا داخل مجموعة الأعداد المركبة C ولا داخل حقل الرباعيات ولا الثمانيات ولو فتحنا هذا الباب فلن تنتهي هذه المجموعات.
بل نقول الدالة مستمرة على R+ وإنتهى الأمر فهي مستمرة عند الصفر لأنها مستمرة عن يمينه ولا ننظر ليساره فهي غير معرفة هناك.
يمكننا أن ندرس كذلك قابليتها للإشتقاق عند الصفر فهي لا تقبل الإشتقاق عند الصفر لعدم وجود العدد المشتق عن يمين الصفر لكن لا نقول لأنها غير معرفة عن يسار الصفر فهذا لا يهمنا.
ننظر لمجموعة التعريف فقط.
وكمثال آخر الدالة القيمة المطلقة |x| فهذه مجموعة تعريفها هي R لذلك ننظر الإستمرار عن يمين الصفر وعن يساره فالدالة معرفة عن اليمين واليسار فنجد أنها مستمرة.
وهي غير قابلة للإشتقاق عند الصفر لأن العدد المشتق عن يمين الصفر لا يساوي العدد المشتق عن يسار الصفر فهنا ننظر لليمين واليسار لأن الدالة معرفة عن اليمين وعن اليسار.
فمسألة اليمين واليسار هي مسألة مسار فقط أيْ أيُ مسار ستسلكه الدالة لكي تصل للنقطة التي تريد دراستها إنطلاقا من مجموعة التعريف.
الحالة العامة في R عندك مسارين يمين وشمال إذا كانت الدالة معرفة يمينا وشمالا.
وقد يكون مسارا واحدا إذا كانت الدالة معرفة على مجال مغلق والدراسة تتم عند طرفيه.
أما في C فعدد المسارات غير منته وعموما مسألة المسار تظهر في فضاء نظيمي بسبب الأشعة وإتجاهاتها لكن نهتم دائما بمجموعة التعريف.
بصفة عامة كل خصائص الدوال تدرس على مجموعة التعريف فلا نقول الدالة الجذر التربيعي لا تنعدم عند الصفر لأنها ليست معرفة يسارا فهذا لا معنى له.
قد يسأل البعض لماذا نجد في التعاريف كتعريف الإشتقاق ذكر مجال مفتوح ، فالجواب عن ذلك لعدة أسباب :
بالنسبة للثانوي فالبرنامج يبسط المسألة للتلميذ لذلك لا يذكر الحالة الخاصة حتى يستوعب التلميذ والتعريف لا يمنع الحالة العامة لذلك هناك حالات نطلب فيها دراسة الإشتقاق عند طرفي المجال لرسم نصف المماس كالدالة الحذر التربيعي ل x^3 حتى نتمكن من توجيه المنحنى عند الصفر.
بالنسبة للمراجع الجامعية فنجدها قد تختلف فهناك من تتكلم عن الإشتقاق على مجال مغلق وهناك من تذكر الحالة العامة فقط لذلك قد نجد العديد من المراجع تشترط الدراسة على مفتوح لأن المبرهنات العامة تحتاج لذلك لكنها لا تنفي الإشتقاق على الحواف بل نحتاج ذلك في العديد من المبرهنات كالمبرهنة الأساسية للتحليل وقابلية الإشتقاق حيثما كان وغيرها من المبرهنات بل هناك ميادين خاصة بدراسة الدوال عند الحواف.
يجب على المشتغل بالرياضيات فهم التعاريف وسبب صياغتها بطريقة دون أخرى مع ضبط نظرية المجموعات وغيرها من النظريات الرياضية فالتعاريف لا توضع من أجل التعريف إنما توضع لمغزى والصياغات قد تختلف من مرجع لآخر حسب الحاجة.
ولابد من كثرة الإطلاع، على أنه التعريف لا يمنع شيئا لأنه تعريف إنما هذه طريقة إدارية خالية من الفهم ففي الرضيات لا نتعامل هكذا مع المفاهيم إنما نقول التعريف خصص المسألة بهذا القيد لهذا السبب وذلك السبب.
فمثلا عندما نتكلم عن تكامل ريمان نشترط مجالا مغلقا
[a,b]
فإذا قلنا لماذا لا نحسب تكامل ريمان للدالة الجذر التربيعي ل
x^2-1
على المجال
[-5,5]
فالجواب لا يمكن لأن التعربف يشترط أن تكون الدالة معرقة على جميع المجال لأن تكامل ريمان يعتمد على تجزئة المجال وحساب مجاميع ريمان الذي نحتاج لحسابه قيمة الدالة عند كل تجزئة فلابد من أن تكون الدالة معرفة على المجال كله.
فهنا نعلل السبب ولا نكتفي بالقول لأن التعريف يمنع ذلك !!
التأمل في التعاريف وفهم سبب صياغتها بطريقة دون أخرى جزء من الرياضيات بل هو أصلها فلا يمكن تطبيق تعريف دون فهمه.